Komplexe Zahlen

Es sei $z\in\C$.

Darstellung von z in kartesischen Koordinaten x, y:

$z = \tr{x} + \tg{i}\tb{y}$

z ist gleich x plus i y

x ist der Realteil von z.

y ist der Imaginärteil von z.

i ist die imaginäre Einheit.

Die zu z komplex konjugierte Zahl:

$\tr{\overline{z}} = x - iy$

z quer ist gleich x minus i y

z konjugiert ist gleich x minus i y

Beispiel:

$z \tg{\,:=\,} 1 + 2i$

z ist definiert als eins plus zwei i

$\tr{\overline{z}} = 1 - 2i$

z konjugiert ist gleich eins minus zwei i

$\tb{|z|}^2 = z\cdot\tr{\overline{z}} = 5$

Betrag z Quadrat ist gleich z mal z quer ist gleich fünf

Darstellung von z in Polarkoordinaten r, $\varphi$:

$z = \tr{r}\,e^{\,i \tb{\varphi}}$

z ist gleich r mal e hoch i phi

$z = \tr{r}\,(\cos \tb{\varphi} + i \sin \tb{\varphi})$

z ist gleich r mal Kosinus phi plus i Sinus phi

$\tr{r} = |z|$

r ist der Betrag von z

$\tb{\varphi} = \text{arg}\, z$

Phi ist das Argument von z

Beispiel:

$\tr{2}\,e^{\,\tb{\frac{\pi}{4}}i} $ $= \tr{2}\,\left(\cos \tb{\tfrac{\pi}{4}} + i \sin \tb{\tfrac{\pi}{4}}\right) $ $= \sqrt{2} + \sqrt{2}\,i$

Zwei mal e hoch pi Viertel i ist gleich zwei mal Kosinus pi Viertel plus i Sinus pi Viertel ist gleich Wurzel zwei plus Wurzel zwei i