Stetigkeit von Funktionen

Es seien $I\subseteq\R$ ein offenes Intervall, $x_0\in I$ und $f\,:\,I\rightarrow \R$ eine Funktion.

$\tr{\lim\limits_{\tr{x\rightarrow x_0}} f(x)} = \tb{f(x_0)}$

Der Grenzwert von f von x für x gegen x null ist gleich dem Funktionswert von f an der Stelle x null

f heißt dann stetig in $x_0$.

$\varepsilon -\delta -$Kriterium:

$\tr{\forall\,}\varepsilon\gt 0\,\tb{\exists\,}\delta\gt 0\,\tg{\forall\,}x\in I \tg{\,:\,} |x - x_0|\lt\delta\,\Rightarrow\,|f(x) - f(x_0)|\lt\varepsilon$

Für alle Epsilon größer null existiert ein Delta größer null so, dass für alle x in I gilt Aus Betrag von x minus x null kleiner Delta folgt Betrag von f von x minus f von x null ist kleiner als Epsilon

$\tr{\lim\limits_{x\rightarrow x_0^+} f(x)} = \tb{f(x_0)}$

Der rechtsseitige Limes von f von x für x gegen x null ist gleich dem Funktionswert von f in x null

f heißt dann rechtsseitig stetig in $x_0$.

$\tr{\lim\limits_{x\rightarrow x_0^-} f(x)} = \tb{f(x_0)}$

Der linksseitige Limes von f von x für x gegen x null ist gleich dem Funktionswert von f in x null

f heißt dann linksseitig stetig in $x_0$.

Ist die Funktion f in $x_0$ nicht stetig, so ist $x_0$ eine Unstetigkeitsstelle von f.