Differenzierbarkeit von Funktionen

Es seien $I\subseteq\R$ ein offenes Intervall und $f\,:\,I\rightarrow\R$ eine Funktion.

Sekanten an den Graphen von f sind Geraden durch Punkte $(x_0, f(x_0))$ und $(x_1, f(x_1))$.

Die Differenzenquotienten geben die Sekantensteigungen an:

$\tr{\frac{\tb{f(x_0) - f(x_1)}}{\tg{x_0 - x_1}}}$

f von x null minus f von x eins durch x null minus x eins

f heißt differenzierbar in $x_0$, wenn:

$\tb{\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\,\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}}\,\tr{\in\R}$

Der Grenzwert von f von x minus f von x null durch x minus x null für x gegen x null aus R ist

Der Grenzwert des Differenzenquotienten für x gegen x null existiert.

$\tb{f}^{\tr{\prime}}\tg{(x_0)}$

f Strich an der Stelle x null

f Strich von x null

Die Ableitung von f an der Stelle x null

Die Ableitung von f in x null

$\tb{\frac{\tr{d}f}{\tr{dx}}}\tg{(x_0)}$

d f nach d x an der Stelle x null

Die Gerade mit Steigung $f^{\prime}(x_0)$ durch den Punkt $(x_0, f(x_0))$ heißt Tangente an den Graphen von f in $x_0$.

$\tr{f^{\prime}}:\,I\rightarrow\R\,\,,\,\, x\mapsto \tr{f^{\prime}(x)}$

f Strich von I nach R , x wird auf f Strich von x abgebildet

Die Funktion $\tr{f^{\prime}}$ ist die Ableitung von f.

Bestimmt man zu $f : x\mapsto f(x)$ die Ableitung, so sagt man:

f wird nach x abgeleitet.

Höhere Ableitungen:

$\tb{f^{\tr{\prime\prime}}}$

f zwei Strich

Die zweite Ableitung von f

$\tb{\frac{\tr{d^2} f}{\tr{dx^2}}}$

d zwei f nach d x Quadrat

Und allgemein für $n\in\N\,\,, n\gt 2 :$

$\tb{f}^{\tr{(n)}}$

Die n-te Ableitung von f

$\tb{\frac{\tr{d^n} f}{\tr{dx^n}}}$

d n f nach d x hoch n

Ableitungsregeln:

Es seinen $f,g \in \mathcal{F}(I)$ in $a \in I$ differenzierbar und $g(x_0) \ne 0$.

Summenregel

$(\tb{f} + \tb{g}) ^\tr{\prime} \tg{(x_0)} = \tb{f}^\tr{\prime} \tg{(x_0)} + \tb{g}^\tr{\prime} \tg{(x_0)}$

In Klammern f plus g Strich von x null gleich f Strich von x null plus g Strich von x null

Produktregel

$(\tb{f} \cdot \tb{g})^{\tr{\prime}} \tg{(x_0)}$ $= \tb{f}^{\tr{\prime}}\tg{(x_0)} \cdot \tb{g} \tg{(x_0)} + \tb{f} \tg{(x_0)} \cdot \tb{g}^{\tr{\prime}} \tg{(x_0)}$

In Klammern f mal g Strich von x null gleich f Strich von x null mal g von x null plus f von x null mal g Strich von x null

Quotientenregel

${\left( \frac{\tb{f}}{\tb{g}}\right)}^{^\tr{\prime}} \tg{(x_0)} $ $ = \frac{\tb{f}^{\tr{\prime}} \tg{(x_0)} \cdot \tb{g} \tg{(x_0)} - \tb{f} \tg{(x_0)} \cdot \tb{g}^{\tr{\prime}} \tg{(x_0)}}{\tb{g} \tg{(x_0)}^2}$

In Klammern f druch g Strich von x null gleich f Strich von x null mal g von x null minus f von x null mal g Strich von x null durch g von x null hoch zwei

Kettenregel

$(\tb{f} \circ \tb{g})^\tr{\prime} \tg{(x_0)} = \tb{f}^\tr{\prime} (\tb{g}\tg{(x_0)}) \cdot \tb{g}^\tr{\prime}\tg{(x_0)}$

Die Ableitung von in Klammern f verknüpft mit g an der Stelle x null ist gleich f Strich verknüpft mit g von x null mal g Strich von x null