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Vektorraum

Sei K ein Körper und M eine Menge. Weiterhin definieren wir + :V×VV , (a,b)a+b und K×V (λ,b)λb.

Wenn alle nachfolgenden sieben Eigenschaften erfüllt sind, dann handelt es sich um einen K-Vektorraum.

1. Eigenschaft:

Für alle x, y, z aus V gilt in Klammern x plus y plus z gleich x plus in Klammern y plus z

 x,y,zV : (x+y)+z=x+(y+z)

Die Verknüpfung 'plus' ist assoziativ.

2. Eigenschaft:

Für alle x, y, z aus V gilt in Klammern x plus y plus z gleich x plus in Klammern y plus z

 x,yV : x+y=y+x

Die Verknüpfung 'plus' ist kommutativ

3. Eigenschaft:

Es existiert ein neutrales Element Null aus V, sodass für alle v aus V gilt: Null plus v gleich v plus Null gleich v

 0V   vV : 0+v=v+0=v

o heißt dann neutrales Element bezüglich der Verknüpfung plus

4. Eigenschaft:

Für jedes v in V existiert ein minus v in V, sodass v plus minus v gleich minus v plus v gleich Null gilt

 vV  vV : v+(v)=v+v=0

-v ist das inverse Element von v bezüglich der Verknüpfung 'plus'.

5. Eigenschaft:

Für alle lambda und mü aus K und für alle v aus V gilt: lambda mal in Klammern mü mal v gleich in Klammern lambda mü mal v

 λ,μK  vV : λ(μv)=(λμ)v

Die Verknüpfung 'mal' ist assoziativ

6. Eigenschaft:

Sei 1 K.

Für alle v aus V gilt eins mal v ist gleich v

 vV : 1v=v

7. Eigenschaft:

Für alle lambda aus K und für alle v, w aus V gilt lambda mal in Klammern v plus w gleich lambda mal v plus lambda mal w

 λK  v,wV : λ(v+w)=λv+λw

Es gilt also das Distributivgesetz.

Das Element v heißt Vektor.

Die Verknüpfung 'plus' heißt Vektoraddition.

Die Verknüpfung 'mal' heißt Skalarmultiplikation.

Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Seien weiterhin v1vkV,λiK, kN und i=1,,k.

Ein Vektor v aus V heißt Linearkombination von v1 bis vk, wenn es lambda aus K gibt mit:

v gleich die Summe von lambda i v i mit i gleich eins bis k

v=ki=1λivi

Eine Menge von Vektoren v eins bis v k heißt linear unabhängig, wenn gilt:

Aus Summe von lambda i v i mit i gleich eins bis k gleich null folgt lambda i gleich null für alle i

ki=1λivi=0λi=0   i

Eine Menge von Vektoren v eins bis v i heißt linear abhängig, falls sie nicht linear unabhängig ist.

Seien a,bV.

Vektorprodukt

Das Vektorprodukt der Vektoren a und b ist gleich a zwei b drei minus a drei b zwei , a drei b eins minus a eins b drei, a eins b zwei minus a zwei b eins

a×b=(a2b3a3b2a3b1a1b3a1b2a2b1)

Das Vektorprodukt nennt man auch Kreuzprodukt

Norm

Sei :VR,xx eine Abbildung. Diese Abbildung heißt Norm, wenn die folgenden drei Eigenschaften für alle x,yK und für alle αK erfüllt sind:

1. Eigenschaft:

Die Norm von x ist größer als null, wobei x ungleich null ist: x>0  ,x0

Diese Eigenschaft nennt man Definitheit.

2. Eigenschaft:

Die Norm von alpha x ist gleich der Betrag von alpha mal die Norm von x

αx=|α|x

Diese Eigenschaft nennt man auch Homogenität.

3. Eigenschaft:

Die Norm von x plus y ist kleiner gleich die Norm von x plus die Norm von y

x+yx+y

Diese Eigenschaft nennt man auch Dreiecksungleichung.

Wir betrachten nun im Folgenden das obige Bild.

Stützvektor

Ein Stützvektor a einer Ebene E ist ein Vektor, der vom Nullpunkt zu einem Punkt dieser Ebene zeigt.

Gerade

Seien u,vV und rK.

x ist gleich u plus r mal v

x=u+rv

Der Vektor v heißt Richtungsvektor.

Ebene

Seien p, u und v V und r,sK.

x gleich p plus r mal u plus s mal v

x=p+ru+sv

p heißt Stützvektor.

u und v heißen Spannvektoren.

Ein Normalenvektor n steht orthogonal auf einer Ebene E.