∀ x,y,z∈V : (x+y)+z=x+(y+z)
Die Verknüpfung 'plus' ist assoziativ.
∀ x,y∈V : x+y=y+x
Die Verknüpfung 'plus' ist kommutativ
∃ 0∈V ∀ v∈V : 0+v=v+0=v
o heißt dann neutrales Element bezüglich der Verknüpfung plus
∀ v∈V ∃ −v∈V : v+(−v)=−v+v=0
-v ist das inverse Element von v bezüglich der Verknüpfung 'plus'.
∀ λ,μ∈K ∀ v∈V : λ⋅(μ⋅v)=(λμ)⋅v
Die Verknüpfung 'mal' ist assoziativ
∀ v∈V : 1⋅v=v
∀ λ∈K ∀ v,w∈V : λ⋅(v+w)=λ⋅v+λ⋅w
Es gilt also das Distributivgesetz.
Das Element v heißt Vektor.
Die Verknüpfung 'plus' heißt Vektoraddition.
Die Verknüpfung 'mal' heißt Skalarmultiplikation.
Ein Vektor v aus V heißt Linearkombination von v1 bis vk, wenn es lambda aus K gibt mit:
v=∑ki=1λivi
Eine Menge von Vektoren v eins bis v k heißt linear unabhängig, wenn gilt:
∑ki=1λivi=0⇒λi=0 ∀ i
Eine Menge von Vektoren v eins bis v i heißt linear abhängig, falls sie nicht linear unabhängig ist.
Vektorprodukt
a×b=(a2b3−a3b2a3b1−a1b3a1b2−a2b1)
Das Vektorprodukt nennt man auch Kreuzprodukt
‖⋅‖
Die Norm von x ist größer als null, wobei x ungleich null ist: ‖x‖>0 ,x≠0
Diese Eigenschaft nennt man Definitheit.
‖αx‖=|α|⋅‖x‖
Diese Eigenschaft nennt man auch Homogenität.
‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖
Diese Eigenschaft nennt man auch Dreiecksungleichung.
Stützvektor
Ein Stützvektor a einer Ebene E ist ein Vektor, der vom Nullpunkt zu einem Punkt dieser Ebene zeigt.
Gerade
x=u+r⋅v
Der Vektor v heißt Richtungsvektor.
Ebene
x=p+r⋅u+s⋅v
p heißt Stützvektor.
u und v heißen Spannvektoren.
Ein Normalenvektor n steht orthogonal auf einer Ebene E.